Zákonný zástupce

Při rozvodu byly děti svěřeny opatrovnickým soudem do mé péče, po dvouletech jsem se znovu vdala. Jaká jsou nyní práva "biologického otce" a otčíma ?
Děti se se svým otcem pravidelně stýkají a teď už se předávání děti téměř obejde bez konfliktů, často však narážím na věci, které nevím, jak řešit, když je bývalý manžel v opozici. Například:
a) současný manžel chtěl děti osvojit, ale býv. manžel proti
b)chtěli jsme změnit dětem příjmení na "naše", abychom měli celá rodina stejné, býv. manžel byl proti
(Soudně jsem to řešit nechtěla, rozvodová pře mi úplně stačila, a taky aby se do toho případně nezatahovaly děti)
Dále mě zajímá, jestli mohu například děti zapsat na nějakou školu, aniž bych se musela domlouvat s býv. manželem, zda s tím souhlasí a naopak, zda mi může "přikázat", kam děti zapsat mohu a kam ne.
Jsme z právního hlediska stále rodiči oba ? Má-li dítěti něco podepsat "zákonný zástupce", jsem to pouze já, bývalý manžel nebo současný manžel ?
Zatím vše řeším tak, že když býv. manžel nesouhlasí, tak to nechávám být, ale zajímá mne, jaké by byly jeho případné šance u soudu - s dětmi se stýká, zájem o ně má, ale má úplně jiné představy o jejich budouctnosti.

Děkuji za odpověď.